教学目的： 数学组 黄维民

1．使学生理解棱台的概念，掌握正棱台的性质；

2．使学生掌握正棱台各基本元素（底面边长、侧棱、高、斜高）之间的关系，并能进行正确的运算。

教学重点：

本节课的重点是正棱台的概念、性质和棱台的基本量：上、下底边长、侧棱、高、

斜高之间的关系。

教学过程：

一．新课引入：

提问：

1．怎样的几何体叫做棱锥？怎样的棱锥是正棱锥？

2．正棱锥具有什么性质？

3．如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截成和底面有什么关系？

截下一个小棱锥后的几何体是什么？这就是本节课要学得内容。

二．新课：

1．根据上述叙述指出棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。

原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。

2．棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁，

或者用它的对角线端点字母表示，如棱台AC₁。

3．由三棱锥，四棱锥，五棱锥，……截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，……

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

4．正棱台的性质：

（1）正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高；

（2）正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；

（3）正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。

教师分析指出：因为两平行平面间的距离处处相等，所以过上底面的任一个顶点作下面的垂线，垂线段的长就是正棱台的高。这样可以把正棱台中的四个直角梯形转化为四个直角三角形。

这四个直角三角形包含了正棱台的主要元素，底面边长、边心距、高、斜高、侧棱以及侧面与底面、侧棱与底面所成的角。应用它们之间的关系就可以解决正棱台的有关计算问题。

三．应用：

例1．正三棱台ABC-A₁B₁C₁两底面边长AB=6，A₁B₁=2，侧面和下底面所成的二面角为60 °,

求棱台的高、侧棱、侧棱和底面所成角的正切值。

分析：根据正棱台的性质，只要过棱台的顶点A₁作底面ABC的垂线A₁D，D必在∠A的平分线上。

过D作DE⊥AB于E，连A₁E，这样就能把已知和未知的元素组织在直角三角形AED，直角三角形AEA₁，直角三角形A₁ED直角三角形AA₁D中，解这些直角三角形就能顺利地解出未知元素。

解：（略）高是2，侧棱是，侧棱和底面所成的正切值为。

例2．设棱台的两底面分别是S，S₁，它的中截面的面积是S₀，求证：。

分析：棱台的中截面是一个过高的中点并平行于底面的截面。根据棱台的性质可知，它与上下底

面是相似的多边形。利用相似多边形的面积之比等于对应边的平方比及梯形中位线的性质就可以

得证。

证明：（略）请学生阅读课本。

四．小结：

1．学习了棱台的概念和正棱台的性质。

2．应熟练地掌握正棱台的底边、高、斜高、侧棱、侧棱与底面所成角之间的关系。

3．掌握棱台中截面与上、下底面积之间的关系。

五．作业：（略）