对数换底公式

数学组 钟清

[教学目的]使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。

[教学重点]对数换底公式的应用

[教学难点]对数换底公式的推导

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log=?

像log这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。

二、新课讲解：

公式：

证明：设，则，两边取以a为底的对数，得

x,即。

1、 成立前提：b>0且b≠1,a>0,且a≠1

2、 公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。一般常换成以10为底。

3、自然对数 lnN=log e=2.71828

三、巩固新课：

例1、求证：1：

2：

例2、求下列各式的值。

（1）、log₉8•log₃₂27

（2）、（log₄3+log₈3）•(log₃2+log₉2)

(3)、log₄9•log₃2

(4)、log₄8•log₃9

(5)、（log₂125+log₄25+log₈5）•(log₅2+log₂₅4+log₁₂₅8)

例3、若log₁₂27=a,试用a表示log₆16.

解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log₁₈9=a,18^b=5,求log₃₆45。

例4、已知12^x=3,12^y=2,求的值。

练习：已知，求a•b的值；

例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？

解：设15年后约有木材A方，则

A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515

LgA=lg22000+15×lg1.025

=4.3424+15×0.0107

=4.5029

∴ A=131840

答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）个。

2、在一个容积为a升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x升，再用水注满；第二次又倒出x升溶液，再用水注满；如此操作t次后，容器里剩余的纯酒精为b升，试用含有a、b、t的式子表示x。

三、小结：对数换底公式：

四、作业