函数的奇偶性

教学目的：

1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；

2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。

教学重点和难点：

函数奇偶性的判断

一、引入新课：

引课：已知，求；

已知，求。

解： ， 。

提问：上式中和；有什么关系？

指出：上面两个函数中，有关系式=，，是对定义域内任意一个x（不是某些x）都成立。这里和的定义域分别是R，{x|x∈R,且x≠0}.这是函数关系式中一个很重要的性质。由它就可从自变量取正值时函数的变化情况推断出函数的整个定义域内的变化情况。具有这一性质的函数不止一个，因此有必要对这类函数作进一步研究。

（板书课题，并给出函数奇偶性的定义）

二、讲述新课

1、定义：对于定义域内任一x都有，则称函数为奇函数；

对于定义域内任一x都有，则称函数为偶函数；

2、说明：

（1）、反过来，若函数为奇函数，则对于定义域内任一x都有；

若函数为偶函数，则对于定义域内任一x都有。（加深对函数奇偶性的理解，并使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义）

（2）、强调x的任意性；

（3）、基本特征：=和是否成立？是判断函数奇偶性的主要依据；

（4）、重要特征：若x在函数的定义域内，则-x也在函数的定义域内，因此函数的定义域关于原点对称。

三、巩固新课：

例1、判断下列函数的奇偶性

（1）、

（2）、

（3）、

（4）、

（5）、

（6）、

（7）、

（8）、

（本例让学生先思考，先让学生判断函数的奇偶性。对于判断不正确的或不完整的让学生自已去发现问题，最后老师点评，指出注意点）

解：（1）、偶函数

（2）、奇函数

（3）、非奇非偶函数

（4）、非奇非偶函数

（5）、（学生易得到非奇非偶函数的结论）指出应先对函数进行化简，可以得到奇函数的正确结论。

（6）、（学生易得到偶函数的结论）提问学生：① 值分别是什么？② 奇函数、偶函数的定义域有什么特征？

正确结论：非奇非偶函数

（7）、（学生易得到偶函数的结论）提问学生：此函数的定义域是什么？进一步得到函数值是什么？得到结论：=和=同时成立；因此此函数既是奇函数又是偶函数；

提问：1、既是奇函数又是偶函数的函数是否一定有？

2、既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一？

（8）、学生易错解为：

当x>0时，-x<0

∴此时，函数为奇函数；

当x<0时，-x>0

∴此时，函数为奇函数；

当x=0时，-x=0

∴此时，函数为既是奇函数又是偶函数；

综上所述，函数为奇函数。

正确解法：

当x>0时，-x<0

当x<0时，-x>0

当x=0时，-x=0

综上所述，函数为奇函数。

小结：判断函数奇偶性的步骤：

（1）、判断定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则马上可以断定此函数为非奇非偶函数；

（2）、=和是否成立？是一个式子成立还是两个式子都成立，还是两个式子都不成立；

（3）、给出正确的结论。

例2、已知定义在R上的奇函数，当x>0时，，求的解析式。

解：∵定义在R上的奇函数,∴

∵当x<0时，-x>0

∴

又∵奇函数在原点有定义，∴

∴

四、课堂练习

1、判断下列函数的奇偶性：

（1）、（2）、（3）、（4）、

2、一次函数在什么情况下是奇函数？

五、小结：

函数奇偶性的概念，判断步骤。

六、作业：

（略）