函数与反函数的概念（高三复习课）

教学目的：理解映射、函数、反函数的概念，会求反函数，并会运用。

教学重点和难点：函数、反函数的概念及运用。

教学过程：

一．有关概念

1.映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对A中任一元素，在B中都有唯一的元素和它对应，叫A到B的映射，记f:A→B。

2.以x为自变量的函数y=f(x)实际上是集合A到B的映射，其中A，B是非空数集，自变量x的取值集合A是函数的定义域，和x对应的y值叫函数值，它的范围C叫值域，显然CÍB。（定义域，值域和对应法则是函数的三要素）

3.反函数：设函数y=f(x)的定义域为A, 值域为C，从式子y=f(x)中解出x=F（y）,若对y在C中的任一值，通过式子x=F（y）,x在A中都有唯一确定的值和它对应，则x=F（y）表示x是自变量y的函数，交换x,y后得y=F（x）,记y=f^-1(x),定义域,值域分别为原函数的值域，定义域。

注：(1)不是每一函数都有反函数,只有A与C之间具有一一对应关系的函数才有反函数.

(2)y=f(x)和它的反函数y=f^-1(x)的 图象关于直线y=x对称

4.求反函数的步骤:(1)由y=f(x)得x=f^-1(y)

(2)交换x,y得y=f^-1(x)

(3)指出y=f^-1(x)的定义域.

二.例题.

例1. 求下列函数的反函数:

(1)y=0.5^x-1,      (2)y=(x≠1)      (3)y=log_0.5(1-x) (x<0)

例2. 不求反函数解下列问题:

(1)如果函数y=f(x)的反函数为f^-1(x)=-1(x≥0),求函数f(x)的定义域

(2)求函数y=的反函数的定义域

(3)若f(x)=1+lg(x+2),求f^-1(2)

分析：利用反函数定义域,值域分别为原函数的值域，定义域来解。

例3. 已知函数y= (a0,a1,x),求证:

(1)过这个函数图象上的两个不同点的直线不平行x轴

(2)它的图象关于y=x对称.(88年)

分析：要证明P（x_1,y₁）,Q(x₂,y₂)两点的连线不平行x轴，只要证明y₁y₂.

例4. 设a>1且a1,f(x)=log_a(x+)  (x≥1)

(1)求f^-1(x)及它的定义域

(2)若f^-1(n)<  (n∈N),求a的范围.

      分析：要解决（2），必须先求出f^-1(x)，然后解不等式。

例5. 设存在反函数的函数y=f(x)的定义域为D,值域为M,

(1)若f(x)是奇函数,则f^-1(x)也是奇函数.

(2)  若f(x)在D上是增(减)函数,则f^-1(x)在M上也是增(减)函数.

分析：应充分利用原函数与反函数的关系，结合函数奇偶性和单调性证明。

      三.作业:教学与测试P₅