从  篮  球  谈  起

浙江省镇海中学  莫芬利

第一部分  教  案

教学目的：引导学生从实际生活中积极地发现问题，并尝试着去解决问题，从中体验“提出问题→解决问题”的乐趣和一种成就感。

教学过程设计：

一、 课题引入

（开始上课前，播放一段姚明在休斯敦火箭队出色表现的录像）

师：过去谈及篮球，我们自然而然会想到“飞人”——迈克尔·乔丹，时下正热播NBA比赛，我们因姚明在休斯敦火箭队的出色表现而更加热爱篮球。那么今天我们就从大家喜欢的篮球谈起。

二、问题教学

师：（从讲桌下拿出一个篮球放在桌面上）今天教室外面晴空万里，阳光明媚。假如说我现在把这个篮球放到我们学校（北纬30º左右）的操场上，那么同学们你们在地面上能看到篮球的影子吗？

[思维随问题开始活跃]

生：能。

师：（进一步追问）影子边缘的曲线是什么形状？

生：椭圆。

师：今天我们就主要来研究一下篮球被阳光斜照留下的影子边缘曲线——暂且叫做椭圆的几何性质。而本问题是从实际生活中抽象出来的，要把它转化为数学问题，首先要建立数学模型（与学生一起作出如下假设）：

1、  地面为平面；2、太阳光为平行光束；3、光线与地面所成角为α；4、球的半径为R。

                                图1

在上述假设前提下（如图1所示），我提出第一个问题：“既然‘影子边缘的曲线是椭圆’，那么这个阴影椭圆的短半轴长、长半轴长、半焦距、离心率分别是什么呢？”

（问题提出后，学生们开始研究、讨论，大约一分钟后有学生举手回答）

生甲：①短半轴长b=R,②长半轴长a=R/sinа,③半焦距c=Rcosа/sinа,④离心率e==cosа。

师：回答正确。在我们学习椭圆时，不管是椭圆的第一定义，还是第二定义，都涉及到一个定点问题，即椭圆的焦点问题。请同学们看一看屏幕上篮球在地面上的投影图(如图2)，我们能否找到椭圆的一个焦点呢？

[引导学生大胆猜想。猜想是发现的开始！]

 

图2

生：…                       

师：同学们可以大胆一些，猜错没关系。

生：球体与地面的接触点是椭圆的一个焦点。

师：这个猜想很大胆，那么这个猜想到底正不正确呢？我们大家一起来研究一下。若用F表示球体与地面的接触点，那么怎样才能说明F是椭圆的焦点呢？（引导学生思考：有一束平行光线必会射向球心方向，那么球心O΄对应于椭圆长轴上的哪一点呢？结合图2思考）

（在学生讨论、研究后，基本上学生会想到两种解法）

生乙：连接O΄A, O΄B,易知∠AO΄B=90º,∴OO΄=AB=a,O΄F=R=b,∴OF=,

∴点F是椭圆的焦点。

生丙：∵O΄F=R=b,∠O΄OF=，∴OF=,∴点F是椭圆的焦点。

师：这两位同学的回答都很精彩。那么同学们你们有没有发现，刚才我们所研究的一系列椭圆的几何性质，都是在什么大前提下去研究的呢？

生：承认了“影子的边缘曲线是椭圆”这个大前提。

师：那你们对此结论是否发生过怀疑呢？刚刚我们都是默认这个结论的，我们能不能给出证明呢？也即是说，现在我们来证明猜想——一个球体在平行光束的斜照下，其影子的边缘曲线是椭圆。

（在学生思考、讨论的同时，教师作一定的提示：如图3所示，我们设过成影圆面O′的平面为β，它和地面γ的交线为,设β截球面所得的大圆的直径为A'O'B',二面角β——γ的大小为θ。请同学们自己研究一下θ与α的关系。这样学生讨论时有一定的方向性。学生很容易得到θ+α=π/2，过一会儿若学生还是找不到证明的突破口，不妨再稍作提示：可从椭圆的第二定义去考虑）

 

                                  图3

生：设M是投影曲线上的任意一点，它所对应的成影圆面上的入射点为M',则MM'⊥β。连接MF,∵M'，F都是切点，∴MF=MM'。再作MN⊥于N。 MF=MM'，，这里M是投影曲线上的任意一点，所以由椭圆的第二定义知，球的影子边缘曲线的确是椭圆。

师：这位同学反应很快，回答也很精炼。我们从这个证明中再一次验证了点H的确是椭圆的一个焦点，也的确是椭圆的离心率，而且还找到了椭圆的一条准线是。通过刚才的研究和讨论，我们理清了哪些3个问题（与学生一起小结）？

生：①、一个球体在平行光束的斜照下，其在平面上的影子边缘曲线是一个椭圆；

②、球体与平面的切点是椭圆（影子边缘曲线）的一个焦点；

③、过成影圆面的平面与原平面的交线是椭圆（影子边缘曲线）的一条准线。

师：刚才我们在研究影子边缘曲线时有四条假设，改变哪条可能会对结论产生影响呢？

生：把“平行光束”改为“非平行光束”结论可能会受影响。

师：这个猜想很好，如果把平行光束改成非平行光束，比如说我们常见的发散光线和会聚光线，球体的影子边缘曲线是否依然是椭圆呢？

我们如何去证明或否定它呢？我们是否可用与

刚才相似的方法去证明或者否定“篮球在发散

光束或会聚光束的斜照下，其影子的边缘曲线

依然是一个椭圆”呢？对此，我们课堂上就不

再进行论证，希望同学们在课后利用相似的方

法完成论证。接下来我们将从另外一个角度来

看这个问题（如图4所示）。现有一个圆锥，在圆

锥的内部存在这样一个球，它既与圆锥的底面

相切，又与圆锥的侧面相切。现用一个不平行                

于底面的平面去截圆锥（如图所截），使其与球                图4

相切，则在这个平面的上侧总存在这样一个大小合适的球，其与截面和圆锥的侧面都相切。在这种情形下，我们一起来研究一下，截面与圆锥的侧面交线具有什么特殊性？

（学生开始讨论、猜测、论证，师生共同完成对此问题的研究。最后让一个学生作代表，回答他们研究所得的结论。）                                    

生：首先可以证明：任意一条母线夹在两球切点间的线段长为定值。任取两条母线a、b，假设母线a、b与大小球的切点分别是A、B，C、D（如图所示），则∵OA=OC，OB=OD，∴OA-OB=OC-OD，即AB=CD，故任意一条母线夹在两球切点间的线段长为定值。假设截面与大球、小球的切点分别是M₁, M₂，母线b与交线的交点为P，根据母线b的任意性，点P也是任意的。∵PC,PM₂都与小球相切, PD,PM₁都与大球相切,∴PC=PM₂，PD=PM₁。于是PM₁ +PM₂=PD+PC为定值，即交线上任意一点P到定点M₁ ，M₂的距离和为定值，且大于| M₁ M₂|，则由椭圆的第一定义可知，点P的轨迹为椭圆，所以我们的结论为截面与圆锥的侧面交线为椭圆。

师：回答正确。如此一来经大家共同分析探讨，我们用椭圆的第一定义定性地论证了“用一个不平行于底面的平面去截圆锥时，截面与圆锥的侧面交线为椭圆”。但不知同学们有没有发现这个证明“交线是椭圆”的过程，是否同时也说明了我们刚刚提出的新猜想“篮球在发散光束或会聚光束的斜照下，其影子的边缘曲线是否依然是一个椭圆”呢？

（学生愕然，思考分析。反应比较快的同学争先恐后地回答了该问题）

生：如图所示，当把一个点光源放在圆锥的顶点处时，圆锥的母线相当于与小球相切的一系列光线，则小球在截面上的影子边缘曲线即为“截面与圆锥的侧面交线——椭圆”。同理当有会聚光线从圆锥底面方向射向大球时，其在截面上的影子边缘曲线也为椭圆。

（大部分学生在听了该学生的回答后，呈恍然大悟状）

师：好，同学们的思维都很敏捷。通过这第二阶段的讨论、猜想、论证，我们得到了如下三个结论(与学生一起小结)：

①、用一个不平行于底面的平面去截圆锥时，截面与圆锥的侧面交线为椭圆；

②、一个球体在发散光线或会聚光线的斜照下，其在平面上的影子边缘曲线是椭圆；

③、两个球体与平面的切点是椭圆的两个焦点。

三、课堂小结

这堂课我们对球在一个平面上的投影问题进行了积极的探讨。热烈的讨论、大胆的猜测、严密的论证是我们这堂课的主旋律，在这里，我们不是机械地去证明别人早已准备好的证明题，而是从实际生活中用我们自己的智慧先提出问题再解决问题。我们的学习就是要养成“仔细思考，大胆猜测，认真钻研，严密论证”的习惯，这对于提高我们各方面的能力不无裨益。最后留给大家一道思考题，希望同学们能结合这堂课的内容，深刻反思，灵活应用。

思考题：如图5所示，已知一个圆柱和一个平面的交线是椭圆。请问你能找到这个椭圆的焦点和准线吗？

                                   图5

 第二部分  教案特点

1、这是一个来源于实际生活的具有一定价值的研究性课题，它对于学生养成“仔细观察、大胆猜想、深入思考、严密论证”的学习习惯不无裨益。

2、它适于用多媒体教学，以呈现动态过程，给学生一个直观的视觉效果，易于学生发挥想象再大胆猜测。比如说在讲解篮球在平行光束的斜照下其影子的边缘曲线是椭圆时，先呈现一个篮球放在一个平面上，继而若干束平行光从球的右上方斜射向篮球出现一个类似椭圆状的阴影，学生从这种动态的演示，现实的再现中很容易作出“篮球在平行光束的斜照下，其影子的边缘曲线是椭圆”的猜想。

3、课题引入前播放一段学生们非常关注的NBA比赛，寓教于乐，有助于在后继教学中充分调动学生的积极性，思考题的设置恰到好处既可以巩固学生们在课堂上所掌握的知识，又可以让学生反复思考注意知识的联系性（在解所留思考题时，若要找到椭圆的准线，可结合第一阶段的内容“作成影圆面的截面”；若要找到椭圆的两个焦点，可结合第二阶段的内容“在圆柱内塞入两个与圆柱相切且与截面相切的球”。

4、它对学生的要求比较高，不仅要求学生对椭圆的相关知识相当熟悉，而且还要求学生有相当丰富的空间想象能力，又涉及到球的相关知识，故比较适合放在立体几何都讲授完之后教学。

5、重视教学过程，以学生为主体，独立思考与相互讨论研究相结合，充分发挥学生的主观能动性和团队协作精神。

6、本教案最突出的特点在于培养学生的“问题意识”：从实际生活中提出问题——解决问题——提出新的问题—— … ，各问题从简单到复杂，环环相扣，思维自由展开，易于调动学生探究问题的积极性，这也是本教案与一般教案的显著区别。

7、从学生阶段就重视对学生探求意识、创新思维的培养，有利于提高学生的整体素质。

                                                浙江省镇海中学  莫芬利

                                                  2004年2月25日

参考文献：

[1] 秦四良.一节“探索性问题研究”的课例.数学通讯（教师版），2003（3）.